Question

已知点，，动点满足直线与的斜率之积为，记的轨迹曲线为.

（1）求的方程，并说明是什么曲线；

（2）设过定点的直线与曲线相交于，两点，若，当时，求面积的取值范围.

Answer

（1），为中心在坐标原点，焦点在轴上的椭圆，不含左右顶点；（2）

【解析】

（1）根据斜率之积为，设点坐标，表示出斜率，列式整理可得结果；

（2）设：，联立，利用韦达定理和，可求出的取值范围，利用求出面积表达式，利用单调性求其范围.

（1）由题设得，

化简得，

所以为中心在坐标原点，焦点在轴上的椭圆，不含左右顶点；

（2）依题意，可设：，联立得，设，，由，解得，

且，，且易知，由可得，

∴，则，

∵，∴，

∴，∴，满足，

∴，

设，则，

∴，∴，

∵在递减，故关于递增，

∴.