Question

已知椭圆的左、右焦点为别为F₁、F₂，且过点和．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）如图，点A为椭圆上一位于x轴上方的动点，AF₂的延长线与椭圆交于点B，AO的延长线与椭圆交于点C，求△ABC面积的最大值，并写出取到最大值时直线BC的方程．

Answer

（1） （2）y=

【解析】

（1）将两点代入椭圆方程，求出a，b，然后求解椭圆的标准方程．

（2）设AF2的方程为x=ty+1，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理以及弦长公式，点到直线的距离求解三角形的面积结合基本不等式求解最值，然后求解BC的方程即可．

【解析】
（1）将两点代入椭圆方程，有解得，

所以椭圆的标准方程为．

（2）因为A在x轴上方，可知AF2斜率不为0，故可以设AF2的方程为x=ty+1，，

得，所以，

设原点到直线AF2的距离为d，则，

所以S△ABC=2S△OAB

=

=

=，△ABC面积的最大值为．

在t=0时取到等号成立，此时AB的方程为：x=1，

可得，A（1，），B（1，-），C（-1，），

此时BC的方程为：y=，