Question

已知半径为5的圆的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线相切．

（1）求圆的方程；

（2）若直线与圆相交于A，B两点，是否存在实数a，使得过点的直线l垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）；（2） 存在实数，使得过点的直线l垂直平分弦AB，理由见解析.

【解析】

（1）由题意圆心在x轴，且圆心横坐标是整数，设出圆心M的坐标，然后利用点到直线的距离公式表示出圆心到已知直线的距离d，根据直线与圆相切，得到d与半径r相等，列出关于m的等式，求出等式的解即可得到m的值，确定出圆心坐标，由圆心坐标和半径写出圆的标准方程即可；

（2）假设符合条件的实数a存在，由a不为0，根据两直线垂直时斜率的乘积为，由直线的斜率表示出直线l的斜率，再由P的坐标和表示出的斜率表示出直线l的方程，根据直线l垂直平分弦AB，得到圆心M必然在直线l上，所以把M的坐标代入直线l方程中，得到关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值，把求出的a的值代入确定出直线l的方程，经过检验发现直线与圆有两个交点，故存在．

（1）设圆心为．

由于圆与直线相切，且半径为5，

所以，即．

即或，

解得或，

因为m为整数，故，

故所求的圆的方程是；

（2）设符合条件的实数a存在，

，则直线l的斜率为，l的方程为，即．

由于l垂直平分弦AB，故圆心必在l上．

所以，解得．

检验：当时，直线的方程为，

圆心到直线的距离为，合乎题意.

故存在实数，使得过点的直线l垂直平分弦AB．