Question

在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，侧面底面ABCD，，．

若PB的中点为E，求证：平面PCD；

若，求二面角的余弦值．

Answer

证明见解析；

【解析】

取PC的中点F，连接EF，DF，推导出四边形ADFE是平行四边形，，由此能证明平面PCD；

以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值．

证明：如图，取PC的中点F，连接EF，DF，

，F分别为PB，PC的中点，，，

，且，，且，

四边形ADFE是平行四边形，，

平面PCD，平面PCD，

平面PCD．

，，

平面平面，平面平面，平面，

平面，

，，，则、、两两垂直，

以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，

则、、、，

，，，，

设平面BDP的法向量，

则，取，得，

设平面PCD的法向量，

则，取，得，

设二面角的平面角为，则，

二面角的余弦值为．