Question

如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，平面，在棱上．

（I）当时，求证平面

（II）当二面角的大小为时，求直线与平面所成角的正弦值．

Answer

（Ⅰ）证明见解析；(Ⅱ) ．

【解析】

（Ⅰ）在平行四边形中，

由，，，

易知，

又平面，所以平面,∴，

在直角三角形中，易得，

在直角三角形中，，，又，∴，

可得

.

∴，

又∵，∴平面．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知,,，

可知为二面角的平面角，

，此时为的中点.

过作,连结,则平面平面,

作,则平面,连结,

可得为直线与平面所成的角．

因为,,

所以.

在中，，

直线与平面所成角的正弦值为.

解法二：依题意易知，平面ACD．以A为坐标原点，AC、AD、SA分别为轴建立空间直角坐标系，则易得，

（Ⅰ）由有，

易得，从而平面．

(Ⅱ)由平面，二面角的平面角.

又，则为的中点，

即,

设平面的法向量为

则，令,得，

从而，

直线与平面所成角的正弦值为.