Question

已知函数 的最小值为 ．

（1）求 的值；（2）求 的解析式．

Answer

（1）-4；（2）

【解析】

试题（1）由a=2，求得f（t）=（t﹣2）2﹣4，即可得到最小值g（2）；

（2）运用换元法和二次函数的对称轴和区间的关系，对a展开讨论，即可得到最小值的表达式．

试题解析：

（1）a=2时，f（x）=4x﹣4•2x（﹣1≤x≤2）

=（2x﹣2）2﹣4，

令t=2x（≤t≤4），

即有f（t）=（t﹣2）2﹣4，

由于2∈[，4]，可得最小值g（2）=﹣4；

（2）函数f（x）=4x﹣a•2x+1（﹣1≤x≤2），

令t=2x（≤t≤4），

则f（t）=t2﹣2at=（t﹣a）2﹣a2，

当a≤时，区间[，4]为增区间，即有t=取得最小值﹣a；

当＜a＜4时，当t=a时，取得最小值﹣a2；

当a≥4时，区间[，4]为减区间，即有t=4取得最小值16﹣8a．

即有．