Question

已知椭圆:与直线:,:,过椭圆上的一点作,的平行线,分别交,于,两点,若为定值,则椭圆的离心率为______.

Answer

【解析】

方法一:由题意可知, 点的位置与椭圆的离心率无关.因而可分别设和,即可表示出交点的坐标.求得的长,令两种情况下的相等,即可得的关系,进而求得椭圆的离心率.

方法二:根据椭圆的参数方程,可设,进而表示出直线与,由直线交点的求法求得交点的坐标.即可根据两点间距离公式表示出.根据同角三角函数关系式的性质,即可得的关系,进而求得椭圆的离心率.

方法一:特殊位置分析法

当时,:,:

由解得,同理.所以

当时,:,:

由解得,同理,所以;

因为定值,所以,

此时

故答案为:

方法二:设,则:

:,

由

所以

同理

所以

若定值,则

所以

故答案为: