Question

多面体,,,,,,,在平面上的射影是线段的中点.

(1)求证:平面;

(2)若,求二面角的余弦值.

Answer

（1）证明见解析（2）

【解析】

（1）过作交于,连接.根据梯形中位线定理及平行四边形性质可证明,进而证明平面.

（2）以点为坐标原点建立空间直角坐标系,写出各个点的坐标,并分别求得平面和平面的法向量,即可根据向量的数量积求得二面角的余弦值.

（1）过作交于,连接,如下图所示:

由梯形中位线知,所以，

又，故四边形是平行四边形，所以，

又平面,平面，所以平面；

（2）由平面,则平面，又平面，

所以平面平面，

以点为坐标原点建立空间直角坐标系如下图所示：

则，,,,，

,,，

设平面的法向量为，则，即，

取,得

设平面的法向量为，则，即，

取,得，所以，

因为所求二面角为锐角，所以其余弦值为.