Question

已知抛物线:上的点到焦点的距离最小值为1.

(1)求的值;

(2)若点在曲线:上,且在曲线上存在三点,,,使得四边形为平行四边形.求平行四边形的面积的最小值.

Answer

（1）（2）最小值为.

【解析】

（1）由抛物线定义,结合抛物线的几何性质可知到准线的距离为最小值,即可求得的值;

（2）方法一:设出直线的方程,并讨论斜率是否存在.联立直线与抛物线方程,结合韦达定理表示出中点的坐标.将点代入曲线可得.根据平行四边形性质可知,关于点对称,即可表示出B点坐标,可得方程.利用三角形面积公式表示出平行四边形的面积,根据等量关系即可求得面积的最小值.

方法二: 设,,表示出直线的方程,由点在曲线上,可得.由,关于点对称,可得B点坐标,将B的坐标代入抛物线方程,可得的等量关系.根据三角形面积公式表示出平行四边形的面积,进而由不等式关系即可求得最小值.

（1）根据抛物线的定义可知,抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离

抛物线上的点到焦点的距离最小值为1

即到准线的距离为1

即,所以

（2）方法一:设直线:,

当不存在时,此时直线为竖直线,与抛物线只有一个交点,故舍去.

设,

联立方程,得

,.

故线段中点

而点在曲线:上

故

若要满足四边形为平行四边形,则,关于点对称.则.又点在抛物线上,

故满足方程,即①

,

代入①得:,

所以

所以平行四边形的面积的最小值为.

方法二:设,,

直线:,点在曲线:上,

故.线段中点,若要满足四边形为平行四边形,

则,关于点对称,则.又点在抛物线上

故满足方程,即①

.

所以平行四边形的面积的最小值为.