Question

正三棱柱的底面边长是2，侧棱长是4，是的中点.是中点，是中点，是中点，

（1）计算异面直线与所成角的余弦值

（2）求证：平面

（3）求证：面面

Answer

（1）（2）证明见解析（3）证明见解析

【解析】

（1）由得 为所求异面直线所成的角（或其补角），然后计算余弦值；

（2）先证面面，再由面面平行性质得线面平行；

（3）由可证面面平行．

（1）如图，连接，，

正三棱柱，分别是中点，则，，

∴平面，平面（正三棱柱的侧面与底面垂直），

∴．∴为所求异面直线所成的角（或其补角）．

由已知，，，，

，

所以异面直线与所成角的余弦值为．

（2）由分别是中点，得，是平行四边形，

∴，又平面，平面，

∴平面,

由（1），又平面，平面，

∴平面,

，平面，平面，

∴面面，

又面

∴面

（3）由是的中点.是中点，是中点，是中点，

得，，而，∴，

，面，∴面，

由（2），又平面，平面，

∴面，

又平面，平面，

∴平面平面．