Question

已知点A是椭圆的上顶点，斜率为的直线交椭圆E于A、M两点，点N在椭圆E上，且.

（1）当时，求的面积；

（2）当时，求证：.

Answer

（1）；（2）证明见解析.

【解析】

（1）由题意可知点M、N的纵坐标相等，横坐标互为相反数，且，设点，代入椭圆方程求出，利用三角形的面积公式即可求解.

（2）将直线与椭圆联立，求出、，由可得，，令，利用导函数求出函数的单调区间，再利用零点存在性定理即可判断出的取值范围.

（1）由对称性知点M、N的纵坐标相等，横坐标互为相反数，且，

于是可以设点其中，于是，解得，

所以；

（2）据题意，直线，联立椭圆E，

得：，即：，

则，那么，

同理，知：，

由，得：，即：，

令，则，

所以单调增，又，，

故存在唯一零点，即.