Question

已知函数.

判断函数在区间上的单调性，并说明理由；

求证：.

Answer

单调递增，理由见解析；证明见解析

【解析】

（1）因为，对求导，可证恒成立，即可证明结果；

（2）证明“”等价于证明“”．求的最大值即可证明．

函数在区间上是单调递增函数.

理由如下:

由，得

因为，

所以.

因此.

又因为，

所以恒成立.

所以在区间上是单调递增函数.

证明“”等价于证明“”

由题意可得，.

因为

令，则.

所以在上单调递减

因为，

所以存在唯一实数，使得，其中.

极大值

的变化如表所示:

所以为函数的极大值.

因为函数在有唯一的极大值.

所以

因为，

所以

因为

所以

所以