Question

已知集合，且中的元素个数大于等于5.若集合中存在四个不同的元素，使得，则称集合是“关联的”，并称集合是集合的“关联子集”；若集合不存在“关联子集”，则称集合是“独立的”.

分别判断集合和集合是“关联的”还是“独立的”？若是“关联的”，写出其所有的关联子集；

已知集合是“关联的”，且任取集合，总存在的关联子集，使得.若，求证：是等差数列；

集合是“独立的”，求证：存在，使得.

Answer

是关联的，关联子集有；是独立的；

证明见解析；

证明见解析

【解析】

（1）根据题中所给的新定义，即可求解；

（2）根据题意，，，，， ，进而利用反证法求解；

（3）不妨设集合，，且.

记，进而利用反证法求解；

解:是“关联的”关联子集有;

是“独立的”

记集合的含有四个元素的集合分别为:

，，，，

.

所以，至多有个“关联子集”.

若为“关联子集”，则不是 “关联子集”，否则

同理可得若为“关联子集”，则不是 “关联子集”.

所以集合没有同时含有元素的“关联子集”，与已知矛盾.

所以一定不是“关联子集”

同理一定不是“关联子集”.

所以集合的“关联子集”至多为.

若不是“关联子集”，则此时集合一定不含有元素的“关联子集”，与已知矛盾；

若不是“关联子集”，则此时集合一定不含有元素的“关联子集”，与已知矛盾；

若不是“关联子集”，则此时集合一定不含有元素的“关联子集”，与已知矛盾；

所以都是“关联子集”

所以有，即

，即.

，即，

所以.

所以是等差数列.

不妨设集合，，且.

记.

因为集合是“独立的”的，所以容易知道中恰好有个元素.

假设结论错误，即不存在，使得

所以任取，，因为，所以

所以

所以任取，

任取，

所以，且中含有个元素.

(i)若，则必有成立.

因为，所以一定有成立.所以.

所以

，，

所以，所以，有矛盾，

(ii)若，

而中含有个元素，所以

所以，

因为，所以.

因为，所以

所以

所以，矛盾.

所以命题成立.