Question

已知函数f(x)＝x²＋mx＋n(m，n∈R)满足f(0)＝f(1)，且方程x＝f(x)有两个相等的实数根．

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)当x∈[0,3]时，求函数f(x)的值域．

Answer

(1) f(x)＝x2－x＋1.

(2) .

【解析】

（1）根据，求出m的值，再根据方程有两个相等的实数根，得到判别式，求出n的值，从而求出函数的解析式；

（2）根据二次函数的性质，求出其对称轴，得到函数的单调区间，从而求出函数的值域.

(1)∵f(x)＝x2＋mx＋n，且f(0)＝f(1)，

∴n＝1＋m＋n，∴m＝－1，∴f(x)＝x2－x＋n.

∵方程x＝f(x)有两个相等的实数根，即x2－2x＋n＝0有两个相等的实数根，

∴(－2)2－4n＝0，∴n＝1，∴f(x)＝x2－x＋1.

(2)由(1)知f(x)＝x2－x＋1. 此函数的图象是开口向上，对称轴为x＝的抛物线，

∴当x＝时，f(x)有最小值f.

而f＝2－＋1＝，f(0)＝1，f(3)＝32－3＋1＝7，

∴当x∈[0,3]时，函数f(x)的值域是.