Question

已知函数是上的偶函数，对于都有成立，且，当，，且时，都有.则给出下列命题：①；②为函数图象的一条对称轴；③函数在上为减函数；④方程在上有4个根；其中正确的命题个数为（    ）

A.1 B.2 C.3 D.4

Answer

D

【解析】

由可得，结合偶函数的性质可得，从而推出，可得函数是以6为周期的周期函数，从而可判断①②，又根据当，，且时，都有可得函数在上单调递增，结合函数值以及对称性可判断③④．

【解析】
对于①，令，由得，

又函数是上的偶函数，

∴，

∴，

即函数是以6为周期的周期函数，

∴；

又，所以，从而，即①正确；

对于②，函数关于y轴对称，周期为6，

∴函数图象的一条对称轴为，故②正确；

对于③，当，，且时，都有，设，

则，故函数在上是增函数，

根据对称性，易知函数在上是减函数，

根据周期性，函数在上为减函数，故③正确；

对于④，因为，又由其单调性及周期性可知

在，有且仅有，

即方程在上有4个根，故④正确；

故选：D．