Question

如图，三棱锥，侧棱，底面三角形为正三角形，边长为，顶点在平面上的射影为，有，且.

（1）求证：平面；

（2）求二面角的余弦值；

（3）线段上是否存在点使得⊥平面，如果存在，求的值；如果不存在，请说明理由.

Answer

（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）;（Ⅲ）见解析.

【解析】

试题（1）证线面平行，则要在平面找一线与之平行即可，显然分析即得证，（2）求二面角可借助空间直角坐标系将两个平面的法向量一一求出，再根据向量的数量积公式便可求解（3）存在问题可以根据结论反推即可，容易得因为，所以与不垂直，故不存在

试题解析：

（Ⅰ）因为，且，，所以，

所以.

因为为正三角形，所以，

又由已知可知为平面四边形，所以.

因为平面，平面，

所以平面.

（Ⅱ）由点在平面上的射影为可得平面，

所以，.

以分别为建立空间直角坐标系，则由已知可知，，，.

平面的法向量，

设为平面的一个法向量，则

由可得

令，则，所以平面的一个法向量，

所以，

所以二面角的余弦值为.

（Ⅲ）由（Ⅱ）可得，，

因为，

所以与不垂直，

所以在线段上不存在点使得⊥平面.