Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，PA=2，AB=1．设M，N分别为PD，AD的中点．

（1）求证：平面CMN∥平面PAB；

（2）求三棱锥P-ABM的体积．

Answer

（1）证明见解析 （2）三棱锥的体积

【解析】

试题（1）由中位线定理可得∥ ∥平面. 再证得∥∥平面平面∥平面； （2）由（1）知，平面∥平面点到平面的距离等于点到平面的距离.

试题解析：（1）证明：∵分别为的中点，

则∥. 又∵平面，平面，

∴∥平面.

在中，，∴.

又∵， ∴∥.

∵平面，平面，∴∥平面.

又∵， ∴平面∥平面.

（2）由（1）知，平面∥平面，

∴点到平面的距离等于点到平面的距离.

由已知，，，，∴，

∴三棱锥的体积.