Question

已知函数，若方程有四个不相等的实根，则实数的取值范围是______.

Answer

【解析】

先由题意，得显然不是方程的根；当时，原方程可化为，令，，用导数的方法研究函数的单调性，极值，确定函数的大致形状，原方程有四个根，即等价于的图象与直线有四个不同的交点，结合图象，即可求出结果.

当，显然不成立；

当时，由得，

令，，即，

则，方程有四个不相等的实根等价于的图象与有四个不同的交点，

当时，，则，

由得，由得，

所以函数在上单调递减，在上单调递增，

因此，函数的极小值为；

当时，，则，

由得；由得；

所以在上单调递减，在上单调递增，

因此函数的极大值为.

画出函数的大致图象如下：

由图象可得，只需.

故答案为：.