Question

已知函数（）.

（1）若，求曲线在点处的切线方程.

（2）当时，求函数的单调区间.

（3）设函数若对于任意，都有成立，求实数a的取值范围.

Answer

（1）；（2）当时，增区间为，，减区间为；当时，的增区间为无减区间；（3）.

【解析】

（1）先由题意，得到，对其求导，得到对应的切线斜率，进而可得出所求切线方程；

（2）先对函数求导，得到，分别讨论，和，解对应的不等式，即可得出结果；

（3）先根据题意，得到在上恒成立，满足不等式，只需在上恒成立，令，，对其求导，求出的最大值，即可得出结果.

（1）若，则（），，

又（），所以，

在处切线方程为.

（2）

令，即，解出或.

当（即时），

由得或，

由得，

增区间为，，减区间为.

当，即时，

，在上恒成立，

的增区间为，无减区间..

综上，时，增区间为，，减区间为，

时，增区间为，无减区间.

（3），有恒成立，

则在上恒成立，

当时，，即满足不等式；

即在上恒成立，

令，，

由题意，只需当时，即可，

因为，

当时，显然恒成立，所以在上单调递增，

.，.

综上所述，实数的取值范围是.