Question

已知函数.

（1）当时，求函数在上的最大值；

（2）令，若在区间上为单调递增函数，求的取值范围；

（3）当 时，函数 的图象与轴交于两点 ，且 ，又是的导函数.若正常数 满足条件.证明：.

Answer

(1)-1；(2)；(3)参考解析

【解析】

试题（1），可知在[,1]是增函数，在[1,2]是减函数，所以最大值为f(1).(2)在区间上为单调递增函数,即在上恒成立．，利用分离参数在上恒成立，即求的最大值．

（3）有两个实根， ，两式相减，又，

．要证：，只需证：，令可证．

试题解析：（1）

函数在[,1]是增函数，在[1,2]是减函数，

所以．

（2）因为，所以，

因为在区间单调递增函数，所以在（0，3）恒成立

，有=，（）

综上：

（3）∵，又有两个实根，

∴，两式相减，得，

∴,

于是

．

要证：，只需证：

只需证：．(*)

令，∴(*)化为 ，只证即可．

在（0，1）上单调递增，，

即．∴．

（其他解法根据情况酌情给分）