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已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍,且过点. (1)求椭圆的标准方程; (2)直线交...

已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍,且过点.

1)求椭圆的标准方程;

2)直线交椭圆于两点,若点始终在以为直径的圆内,求实数的取值范围.

 

(1);(2). 【解析】 (1)题设条件为易得椭圆方程; (2)设,直线方程与椭圆方程联立,消元得一元二次方程,由韦达定理可得,注意到直线恒过定点,此为椭圆的左顶点,因此有,,这样可得出点坐标,点始终在以为直径的圆内,则,由此可得的范围. (1)由题意知,, 椭圆的标准方程为:. (2)设联立,消去,得: 依题意:直线恒过点,此点为椭圆的左顶点,所以① , 由(*)式,②,得 ③ ,由①②③,, 由点B在以PQ为直径圆内,得为钝角或平角,即. .即 整理得,解得.
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