Question

已知函数.

(1)若,求的单调区间;

(2)若关于的方程有四个不同的解,,,,求实数,应满足的条件;

(3)在(2)条件下,若,,,成等比数列,求用表示.

Answer

(1)单调递增区间为,单调递减区间为;(2);(3)

【解析】

（1）当可得,进而求得单调区间即可；

（2）对求导可得,分别讨论和的情况时的单调性,进而求解即可；

（3）在（2）的条件下,可得或,整理可得或,利用韦达定理求解即可

解:(1)当时,

函数,

故的单调递增区间为,单调递减区间为；

(2),

则,

当时,当时,,设,则在上单调,且,,因为,所以则,所以的单调递增区间为；

当时,,设,则在上单调递减,因为且,所以,所以的单调递减区间为,不符合题意；

当时, 令,则当时,；当时,；

所以在或上；在或,,

所以在上单调递减,在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增,

又由,

∴方程有四个不同的解,,,时,

,应满足的条件为:

(3)由（2）,,即或,

即或,

由韦达定理可得,

若,,,成等比数列,则,

由等比中项可得,所以,所以,

,

,

,

解得