Question

设数列 的前项和为，对一切，点都在函数的图象上.

（1）求，归纳数列的通项公式（不必证明）；

（2）将数列依次按1项、2项、3项、4项循环地分为，，， ；，，，；，…，分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为，求的值；

（3）设为数列的前项积，若不等式对一切都成立，其中，求的取值范围.

Answer

（1），，；（2）2010；（3）.

【解析】

（1）点坐标代入函数解析式，得，令依次可求得，归纳出通项公式；

（2）依题意，每一次循环记为一组.由于每一个循环含有4个括号，故是第25组中第4个括号内各数之和．这样可求得（注意规律），而，因此结论易用得．

（3）由，得，不等式对一切都成立， 就是对一切都成立，

设，则只需即可.用作商的方法说明是递减数列，从而问题易求解．

（1）因为点在函数的图象上，故，所以.

令，得，所以；令，得，所以，,……

由此猜想：.

（2）因为，所以数列依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20）；（22），（24，26），（28，30，32），（34，36，38，40）；（42），….

每一次循环记为一组.由于每一个循环含有4个括号，故是第25组中第4个括号内各数之和.由分组规律知，由各组第4个括号中所有第1个数组成的数列是等差数列，且公差为20.

同理，由各组第4个括号中所有第2个数、所有第3个数、所有第4个数分别组成的数列也都是等差数列，且公差均为20. 故各组第4个括号中各数之和构成等差数列，且公差为80.

注意到第一组中第4个括号内各数之和是68，

所以.又，所以.

（3）因为，故，所以.

又，故对一切都成立，

就是对一切都成立，

设，则只需即可.

由于，所以，故是单调递减，

于是，解得.