Question

已知四棱锥的底面为正方形，且该四棱锥的每条棱长均为，设BC，CD的中点分别为E，F，点G在线段PA上，如图.

（1）证明：；

（2）当平面PEF时，求直线GC和平面PEF所成角的正弦值.

Answer

（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）设，由正棱锥的性质可知PO⊥平面ABCD，得到PO⊥EF，再由ABCD是正方形结合EF为△BCD的中位线，可得EF⊥AC，得到EF⊥平面PAC，进一步得到EF⊥GC；

（2）分别以PB，OC，OP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出A，P，E，F的坐标，设，且，其中，求得，设平面PEF的一个法向量为，求得，结合BG∥平面PEF，利用数量积为0求得λ，进一步得到，又，求出直线GC的法向量为．设GC和平面PEF所成角为，再由求解．

（1）证明：由已知为正四棱锥，设AC，BD交于点O，

由正棱锥的性质可知平面ABCD，所以，

由于正方形ABCD满足，EF为的中位线，故，所以，

所以平面PAC，而平面PAC，所以.

（2）分别以OB，OC，OP为坐标轴建立如图坐标系，

此时，，，.

设，且，其中，

即，

设平面PEF的法向量为，

由于，，

由解得，

由平面PEF知，

解得，此时，由于，故.

所以直线GC的方向向量，

设GC和平面PEF所成角为，

则.