Question

已知函数存在两个极值点，且，

（1）求实数的取值范围；

（2）证明：当时，对任意不相等的正实数、，有．

Answer

（1）；（2）证明见解析.

【解析】

（1）求导，函数有两个不同的极值点，则方程有两个正根，根据判别式大于0以及对称轴大于0，即可得出实数的取值范围；

（2）将原不等式等价于，构造函数，利用导数证明函数的单调性，利用单调性得出，即可证明原不等式成立.

（1）

∴方程有两个正根，即

（2）不妨设，原不等式等价于，

等价于

设，

由知

在上单调递增

，即，原不等式得证.