Question

已知平面上动点P到定点的距离比P到直线的距离大1.记动点P的轨迹为曲线C.

（1）求曲线C的方程；

（2）过点的直线交曲线C于A、B两点，点A关于x轴的对称点是D，证明：直线恒过点F.

Answer

（1）（2）证明见解析

【解析】

(1)先分析出点P在直线的右侧，然后利用抛物线的定义写出方程即可

(2)设出直线的方程和A、B两点坐标，联立方程求出的范围和A、B两点纵坐标之和和积，写出直线的方程，然后利用前面得到的关系化简即可.

（1）不难发现，点P在直线的右侧，

∴P到的距离等于P到直线的距离.

∴P的轨迹为以为焦点，以为准线的抛物线，

∴曲线C的方程为.

（2）设直线的方程为，

联立，得，，解得或.

∴，.

又点A关于x轴的对称点为D，

则直线的方程为

即

令，得.

∴直线恒过定点，而点.