Question

如图，在四面体中，平面，.，.M是的中点，P是的中点，点Q在线段上，且.

（1）证明：；

（2）若二面角的大小为60°，求的大小.

Answer

（1）证明见解析（2）

【解析】

(1)以的中点为原点建立空间直角坐标系，设出C的坐标，然后算出和的坐标，证明即可；

(2)算出平面的一个法向量，利用二面角的大小为60°求出C的坐标即可.

（1）证明：如图，取的中点O，以O为原点，，所在射线y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系.

由题意知

设点C的坐标为，

因为，

所以

因为点M为的中点，故

又点P为的中点，故

所以，

所以.

（2）【解析】
设为平面的一个法向量

由，

知

取，得.

又平面的一个法向量为，于是

即.①

又，所以，

故

即.②

联立①②，解得（舍去）或.

所以.

又是锐角，所以.