Question

已知椭圆是长轴的一个端点，弦过椭圆的中心O，点C在第一象限，且，.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设P、Q为椭圆上不重合的两点且异于A、B，若的平分线总是垂直于x轴，问是否存在实数，使得？若不存在，请说明理由；若存在，求的最大值.

Answer

（1）（2）存在，的最大值为

【解析】

(1)将化简可得出是等腰直角三角形，然后可得出点坐标，带入椭圆方程即可求出

(2)首先由的平分线总是垂直于x轴可得出，然后设出的直线方程，联立消元可求出和，然后可算出，进而可表示出并求出的最大值，也就可以得出的最大值.

（1）∵，∴，

∵，即，

∴是等腰直角三角形，

∵，，

而点C在椭圆上，∴，∴，

∴所求椭圆方程为.

（2）对于椭圆上两点P，Q，

∵的平分线总是垂直于x轴，

∴与所在直线关于对称，

，则，

∵，∴的直线方程为，①

的直线方程为，②

将①代入，得，③

∵在椭圆上，∴是方程③的一个根，

∴，

以替换k，得到.

∴，

∵，弦过椭圆的中心O，

∴，∴，

∴，∴，

∴存实数，使得，

，

当时，即时取等号，

，

又，，

∴的最大值为.