Question

在平面直角坐标系中，定义为两点，的“切比雪夫距离”，又设点及上任意一点，称的最小值为点到直线的“切比雪夫距离”，记作，给出下列三个命题：

①对任意三点、、，都有；

②已知点和直线：，则；

③到定点的距离和到的“切比雪夫距离”相等的点的轨迹是正方形.

其中正确的命题有（    ）

A.0个 B.1个 C.2个 D.3个

Answer

C

【解析】

①讨论，，三点共线，以及不共线的情况，结合图象和新定义，即可判断；

②设点是直线上一点，且，可得，，讨论，的大小，可得距离，再由函数的性质，可得最小值；

③设定点，且相等距离为1，从而可判断出命题的真假.

① 对任意三点、、，若它们共线，设，、，，，，如图，结合三角形的相似可得，，为，，，或，，，则；

若，或，对调，可得；

若，，不共线，且三角形中为锐角或钝角，如图，

由矩形或矩形，

；

则对任意的三点，，，都有，故①正确；

②设点是直线上一点，且，

可得，，

由，解得，即有，

当时，取得最小值；

由，解得或，即有，

的范围是，无最值；

综上可得，，两点的“切比雪夫距离”的最小值为；故②正确；

③假设定点，到定点的距离和到的“切比雪夫距离”相等且距离为1的点为，则到定点的距离为1的点的轨迹为单位圆；到的“切比雪夫距离”的距离为1的点，所以，即或显然点的轨迹为正方形，所以只有四个点符合要求，故③错误；

故选：C