Question

如图，已知点为抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于、两点，点在抛物线上，使得的重心在轴上，直线交轴于点，且在点的右侧.记、的面积分别、.

（1）求的值及抛物线的方程；

（2）求的最小值及此时点的坐标.

Answer

（1），；（2），

【解析】

（1）由抛物线的焦点坐标，即可得的值及抛物线的方程；

（2）引入变量表示点坐标，然后将直线的方程用表示，利用三角形的重心也可以把其余点的坐标用变量表示，进而将三角形面积的比值表示成关于的函数，再利用基本不等式求最小值，从而得到答案.

（1）由抛物线的性质可得：，∴，

∴抛物线的方程为；

（2）设，，，重心，

令，，则，

由于直线过，故直线的方程为，

代入，得：，

∴，即，∴，

又，，重心在轴上，

∴，

∴，，

∴直线的方程为，得，

∵在焦点的右侧，∴，

∴，

令，则，

，

∴当时，取得最小值为，此时.