Question

设函数为的导函数.

（Ⅰ）求的单调区间；

（Ⅱ）当时，证明；

（Ⅲ）设为函数在区间内的零点，其中，证明.

Answer

（Ⅰ）单调递增区间为的单调递减区间为.（Ⅱ）见证明；（Ⅲ）见证明

【解析】

(Ⅰ)由题意求得导函数的解析式，然后由导函数的符号即可确定函数的单调区间；

(Ⅱ)构造函数，结合(Ⅰ)的结果和导函数的符号求解函数的最小值即可证得题中的结论；

(Ⅲ)令，结合(Ⅰ)，(Ⅱ)的结论、函数的单调性和零点的性质放缩不等式即可证得题中的结果.

(Ⅰ)由已知，有.

当时，有，得，则单调递减;

当时，有，得，则单调递增.

所以，的单调递增区间为，

的单调递减区间为.

(Ⅱ)记.依题意及(Ⅰ)有：，

从而.当时，，故

.

因此，在区间上单调递减，进而.

所以，当时，.

(Ⅲ)依题意，，即.

记，则.

且.

由及(Ⅰ)得.

由(Ⅱ)知，当时，，所以在上为减函数，

因此.

又由(Ⅱ)知，故：

.

所以.