Question

设函数.

(1)当时,求函数在区间上的值域;

(2)设函数的定义域为I,若,且,则称为函数的“壹点”,已知在区间上有4个不同的“壹点”,求实数的取值范围.

Answer

(1)(2)

【解析】

（1）由同角三角函数关系式化简,代入,利用换元法将化为二次函数形式,即可根据二次函数的单调性求得在区间上的值域.

（2）根据题意,将函数化为在区间上有4个零点.利用换元法将函数转化为二次函数形式,通过分离讨论即可求得的取值范围.

（1）

当时,,令

则

所以函数在上单调递增,上单调递减

∴,

所以函数在的值域为

（2）由题意在区间有四解,

令,则在区间上有4个零点,

令,则.

(i)若在上有两个非零 ,则

(ii)若的两个零点为0,1,则,无解,故舍去;

(iii)若的两个零点为0,-1,则,无解,故舍去.

综上: