Question

已知，函数．

（1）求的对称轴方程；

（2）若对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围．

Answer

（1）；（2）

【解析】

（I）利用平面向量数量积的坐标表示、二倍角公式以及两角和与差的正弦公式将函数化为，利用可得对称轴方程；（II）原不等式化为，利用可得结果；（Ⅲ）恒成立，等价于，利用，求得，可得，从而可得结果.

（I） ，

令，解得．

∴的对称轴方程为．

（II）由得，即，

∴．

故x的取值集合为．

（Ⅲ）∵，∴，

又∵在上是增函数，∴，

又，

∴在时的最大值是，

∵恒成立，∴，即，

∴实数的取值范围是．