Question

设O为坐标原点，动点M在椭圆C上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足.

（1）求点P的轨迹方程；

（2）设点在直线上，且.证明：过点P且垂直于OQ的直线过C的左焦点F.

Answer

（1）；（2）见解析.

【解析】

试题（1）转移法求轨迹：设所求动点坐标及相应已知动点坐标，利用条件列两种坐标关系，最后代入已知动点轨迹方程，化简可得所求轨迹方程；（2）证明直线过定点问题，一般方法是以算代证：即证，先设 P（m，n），则需证，即根据条件可得，而，代入即得.

试题解析：【解析】
（1）设P（x，y），M（）,则N（），

由得.

因为M（）在C上，所以.

因此点P的轨迹为.

由题意知F（-1,0），设Q（-3，t），P（m，n），则

，

.

由得-3m-+tn-=1，又由（1）知，故3+3m-tn=0.

所以，即.又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.