Question

已知公差不为零的等差数列满足：，且成等比数列．

（1）求数列的通项公式．

（2）记为数列的前项和，是否存在正整数，使得？若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）（2）存在，最小值是．

【解析】

（1）利用等比中项的性质列方程，将已知条件转化为的形式列方程组，解方程组求得，由此求得数列的通项公式.

（2）首先求得数列的前项和，由列不等式，解一元二次不等式求得的取值范围，由此求得的最小值.

（1）设等差数列的公差为（），由题意得

化简，得 ．

因为，所以，解得

所以 ，

即数列的通项公式是 （）．

（2）由（1）可得 ．

假设存在正整数，使得，即 ，

即，解得或 (舍) ．

所以所求的最小值是．