Question

设数列的前n项和为，若对于所有的自然数n，都有，证明是等差数列.

Answer

证明见解析

【解析】

方法一是用数学归纳法，因为只要能证明的通项公式满足等差数列的通项公式，问题就可得证，这显然是与自然序号n有关的命题，故可以选择数学归纳法；

方法二是数列用定义证明，即证明（常数），利用已知前n项和，首先利用表示出，然后可以计算证明之.

法一：

令.

下面用数学归纳法证明.

（1）当时上述等式为恒等式.

当时，，等式成立.

（2）假设当时命题成立，.由题设，有

，，又

把代入上式，得

.

整理得.

，.即当时等式成立.

由（1）和（2），等式对所有的自然数n成立，从而是等差数列

法二：

当时，由题设，，.

所以

同理有.

从而，

整理得

从而是等差数列.