Question

已知函数.

(1)求曲线在点处的切线方程；

(2)证明：在区间上有且仅有个零点.

Answer

（1）；（2）见解析

【解析】

（1）给函数求导，将切点的横坐标带入原函数，导函数，分别求出切点和斜率，用点斜式写出直线方程即可.

（2）当时，，所以，函数在区间上没有零点；又，下面只需证明函数在区间上有且只有一个零点.因为函数在区间上单调递增，，，存在，使得，函数在处取得极小值，则，又，所以，由零点存在定理可知，函数在区间上有且只有一个零点.综上可得，函数在上有且仅有两个零点.

（1），则，

，.

因此，函数在点处的切线方程为，即.

（2）当时，，此时，，

所以，函数在区间上没有零点；

又，下面只需证明函数在区间上有且只有一个零点.

，构造函数，则，

当时，，

所以，函数在区间上单调递增，

，，

由零点存在定理知，存在，使得，

当时，，当时，.

所以，函数在处取得极小值，则，

又，所以，

由零点存在定理可知，函数在区间上有且只有一个零点.

综上可得，函数在上有且仅有两个零点.