Question

已知椭圆的离心率为，其左、右焦点分别为、，过且垂直于x轴的直线交椭圆C于点D，.

（1）求椭圆C的方程；

（2）过的直线l交椭圆C于A、B两点，若，求的面积.

Answer

（1）；（2）.

【解析】

（1）由离心率、半通径长和椭圆可构造方程组求得，从而得到所求方程；

（2）当与轴重合时显然不合题意；当与轴不重合时，将直线方程与椭圆方程联立得到韦达定理的形式；结合焦点分弦所成比例可构造关于的方程组，求得；由，结合韦达定理可求得结果.

（1）由题意得：，解得：

椭圆的方程为

（2）由（1）知：

当和轴重合时，，，则共线，不满足题意

当和轴不重合时，设：

联立消去整理得：

设，则…①，…②

由可得：…③

由①②③消去可解得：