Question

已知函数，.

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）设函数，其中是自然对数的底数，判断有无极值，有极值时求出极值.

Answer

（1）递增区间为，，递减区间为，；

（2）当时，无极值；当0时，极大值为，极小值为.

【解析】

（1）代入,运用导数知识求出函数的单调区间.

（2）对函数求导后,分类讨论和两种情况,判断函数有无极值,并在有极值时求出极值.

【解析】
（1）当时,

∴,令得,0,1.

列表：

0

1

－

0

＋

0

－

0

＋

由表得:的递增区间为,

递减区间为,

（2）因为,

所以

,

令,则,令得,

当时,,单调递减,

当时,,单调递增,

所以当时,,∴对于恒有.

当时,,在上单调递增,无极值；

当时,令,可得.

当或时,,单调递增,

当时,,单调递减,

因此,当时,取得极大值；

当时,取得极小值.

综上所述：当时,无极值；

当0时,极大值为,

极小值为.