Question

已知关于的方程在上恰有3个解，存在，使不等式成立.

（1）若为真命题，求正数的取值范围；

（2）若为真命题，且为假命题，求正数的取值范围.

Answer

（1）

（2）

【解析】

（1）由，，可得，当命题为真，结合正弦函数的图像可得，即可求出结论；

（2）命题为真，即存在，使不等式成立，转化为，设，只需，由，，求出函数的最大值，即求出为真时的取值范围. 为真命题，且为假命题，分为真假和真假，分别求出的范围，即可求解.

【解析】
（1）因为，，所以.

因为为真命题，所以

在上恰有3个解，

∴，

所以，所以.

当为真命题时，的取值范围是.

（2）不等式等价于

.

设，

，所以，则.

当为真命题时，.

因为为真命题，且为假命题，所以与中一真一假，

①当真假时，.

②当真假时，解得或.

综上，的取值范围是.