Question

已知椭圆的短轴长为2.

（1）若椭圆经过点，求椭圆的方程；

（2）为椭圆的上顶点，，椭圆上存在点，使得.求椭圆的离心率的取值范围.

Answer

（1）

（2）

【解析】

（1）由已知，将点代入椭圆方程，求出，即可求出椭圆方程；

（2）设，求出满足的轨迹方程为，问题转化为椭圆与圆有交点，联立椭圆与圆方程可得，，根据椭圆的范围，可求出，由椭圆中的关系，，即可求出结论.

【解析】
（1）由题意可得，即.

因为椭圆经过点，所以，

所以，解得.

故椭圆的方程为.

（2）由（1）可知，设，则①

因为，所以，

所以，即.②

联立①②，解得.

因为，所以，

所以，解得，

于是，即，

则，即，即.

故椭圆的离心率的取值范围是.