Question

设f(x)是定义在R上的函数，对m，n∈R，恒有f(m＋n)＝f(m)·f(n)(f(m)≠0，f(n)≠0)，且当x＞0时，0＜f(x)＜1.

(1)求证f(0)＝1；

(2)求证x∈R时，恒有f(x)＞0；

(3)求证f(x)在R上是减函数．

Answer

(1)根据题意，令m＝0，可得f(0＋n)＝f(0)·f(n)，

因为f(n)≠0，所以f(0)＝1.

(2)由题意知x＞0时，0＜f(x)＜1，当x＝0时，f(0)＝1＞0，当x＜0时，－x＞0，所以0＜f(－x)＜1.因为f[x＋(－x)]＝f(x)·f(－x)，所以f(x)·f(－x)＝1，

所以f(x)＝＞0.故x∈R时，恒有f(x)＞0.

(3)设x1，x2∈R，且x1＜x2，则f(x2)＝f[x1＋(x2－x1)]，

所以f(x2)－f(x1)＝f[x1＋(x2－x1)]－f(x1)＝f(x1)·f(x2－x1)－f(x1)＝f(x1)[f(x2－x1)－1]．由(2)知f(x1)＞0，又x2－x1＞0，所以0＜f(x2－x1)＜1，

故f(x2)－f(x1)＜0，所以f(x)在R上是减函数．

【解析】

（1）对函数进行赋值，即可证得结论；

（2）由于已知部分定义域内函数值的范围，故分区间讨论，结合已知等式，将其他区间内的范围与已知函数值结合讨论；

（3）证明单调性需根据定义去求，假设 结合等式，构造的形式，判断符号即可证出单调性.

证明：(1)根据题意，令m＝0，

可得f(0＋n)＝f(0)·f(n)，

因为f(n)≠0，所以f(0)＝1.

(2)由题意知x＞0时，0＜f(x)＜1，

当x＝0时，f(0)＝1＞0，

当x＜0时，－x＞0，所以0＜f(－x)＜1.

因为f[x＋(－x)]＝f(x)·f(－x)，

所以f(x)·f(－x)＝1，

所以f(x)＝＞0

故x∈R时，恒有f(x)＞0.

(3)设x1，x2∈R，且x1＜x2，

则f(x2)＝f[x1＋(x2－x1)]，

所以f(x2)－f(x1)＝f[x1＋(x2－x1)]－f(x1)＝f(x1)·f(x2－x1)－f(x1)＝f(x1)[f(x2－x1)－1]．

由(2)知f(x1)＞0，又x2－x1＞0，

所以0＜f(x2－x1)＜1，

故f(x2)－f(x1)＜0，所以f(x)在R上是减函数．