Question

若数列满足则称为数列.记

（1）若为数列,且试写出的所有可能值；

（2）若为数列，且求的最大值；

（3）对任意给定的正整数是否存在数列使得？若存在，写出满足条件的一个数列；若不存在，请说明理由.

Answer

（1）；（2）；（3）存在，见解析.

【解析】

（1）根据题意，则或，分析后可得符合条件的数列；

（2）由于由于为数列，且故n必须是不小于3的奇数. 使最大的，可以让数列先逐渐增大1，到中间位置后再逐渐减小1，由等差数列的前项和公式可得；

（3）令，则，用表示有,求出

，

是偶数，，则是偶数，或（），可分别求得结论．

（1）满足条件的数列，及对应的分别为：

（i） 0, 1, 2，1, 0. (ii) 0, 1, 0，1, 0.

（iii） 0, 1, 0，-1, 0. (iv) 0, -1, -2，-1, 0.

（v） 0, -1, 0，-1, 0 . (vi) 0, -1, 0, 1, 0.

因此，的所有可能值为：

(2) 由于为数列，且

故n必须是不小于3的奇数.

于是使最大的为：

这里 并且

因此， （n为不小于3的奇数）

（3）令，则于是由得

故

因为，故为偶数，

所以为偶数，

于是要使，必须为偶数，即为4的倍数，亦即

或

（i）当时，数列的项在满足：

时，

(ii)当时，数列的项在满足：

时，