Question

如图，是以BC为底边的等腰三角形，DA，EB都垂直于平面ABC，且线段DA的长度大于线段EB的长度，M是BC的中点，N是ED的中点.

求证：（1）平面EBC；

（2）平面DAC.

Answer

（1）证明见解析（2）证明见解析

【解析】

(1)由等腰三角形的性质推出，线面垂直的性质推出，从而证明平面EBC；(2)证法一：连结BN并延长，交AD的延长线于I，连结IC，证明；证法二：在平面ABED中，分别过E，N作，分别交AD于P，Q，取AC的中点O，连结MO，OQ，证明；证法三：取AB的中点H，连结MH、NH，证明平面平面DAC，根据面面平行的性质证明线面平行.

（1）因为是以BC为底边的等腰三角形，M是BC的中点，

所以.

因为平面ABC，平面ABC，

所以.

又平面EBC，，

所以平面EBC.

（2）证法一：如图，

连结BN并延长，交AD的延长线于I，连结IC.

因为平面ABC，平面ABC，

所以，

所以，

又N为ED的中点，所以，

即N为BI的中点.

又M是BC的中点，

所以在中，.

又平面DAC，平面DAC，

所以平面DAC.

证法二：如图，

因为平面ABC，平面ABC，

所以，

所以A，B，E，D四点共面.

在平面ABED中，分别过E，N作，分别交AD于P，Q，

取AC的中点O，连结MO，OQ，

因为，

所以四边形ABEP为平行四边形，

所以，

因为，所以，

又N是ED的中点，所以，

所以，

因为M，O分别为BC，CA的中点，

所以在中，

所以，

所以四边形MOQN为平行四边形，

所以.

又平面平面DAC，

所以平面DAC.

法三：如图，

取AB的中点H，连结MH、NH.

在中，因为M，H分别为BC，BA的中点，

所以.

又平面DAC，平面DAC，

所以平面DAC.

因为平面ABC，平面ABC，

所以，又，

所以四边形ADEB为梯形.

又N，H分别为ED，BA的中点，

所以.

又平面DAC，平面DAC，

所以平面DAC.

因为平面NHM，，

所以平面平面DAC，

又平面NHM，

所以平面DAC.