Question

如图是一个半径为1千米的扇形景点的平面示意图，.原有观光道路OC，且.为便于游客观赏，景点管理部门决定新建两条道路PQ、PA，其中P在原道路OC（不含端点O、C）上，Q在景点边界OB上，且，同时维修原道路的OP段，因地形原因，新建PQ段、PA段的每千米费用分别是万元、万元，维修OP段的每千米费用是万元.

（1）设，求所需总费用，并给出的取值范围；

（2）当P距离O处多远时，总费用最小.

Answer

（1）（2）当点P距离O处千米时，总费用的最小

【解析】

(1)在中利用正弦定理将求出,，代入并化简即可求得解析式，再根据P在原道路OC上求出的取值范围；(2)求出的导数，根据导数的符号判断函数的单调性，从而求得最小值.

【解析】
（1）因为，所以.

又在中，，

所以，

.

因为，

所以

.

（2），

由得，

又，所以.

当时，在上单调递减，

当时，，在上单调递增.

所以当时，取最小值，此时.

答：当点P距离O处千米时，总费用的最小.