Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆的离心率为，右准线的方程为分别为椭圆C的左、右焦点，A，B分别为椭圆C的左、右顶点.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）过作斜率为的直线l交椭圆C于M，N两点（点M在点N的左侧），且，设直线AM，BN的斜率分别为，求的值.

Answer

（1）（2）

【解析】

(1)由离心率与准线方程列出方程组求出 ，代入，即可得解；(2) 设，，联立直线与椭圆方程，求出、，由可得，从而求出代入可得，最后求出.

（1）因为椭圆C的离心率为，所以①，

因为椭圆C的右准线的方程为，

所以②，联立①②，解得，

所以，

所以椭圆C的标准方程为.

（2）设，

因为过作斜率为的直线l交椭圆C于M，N两点，

所以，

由，得，

所以，

因为，

所以.

因为，所以，

即，

整理得，

所以，

又，

所以，

即，

即，

整理得.

因为直线AM，BN的斜率分别为，且，

所以

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