Question

在极坐标系中，已知点M，N的极坐标分别为，直线l的方程为.

（1）求以线段MN为直径的圆C的极坐标方程；

（2）求直线l被（1）中的圆C所截得的弦长.

Answer

（1）（2）

【解析】

(1)求出点M，N的直角坐标，则圆C的圆心为，半径为，写出圆C的直角坐标方程，再利用，转化为极坐标方程；(2)求出圆心C到直线l的距离d，则直线被圆截的的弦长为.

解法一：以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，

则点M，N的直角坐标分别为，

直线l的直角坐标方程为，

（1）线段MN为圆C的直径，

圆C的圆心为，半径为，

圆C的直角坐标方程为，即，

化为极坐标方程为：.

（2）圆C的直角坐标方程为，

直线l的直角坐标方程为，

圆心C到直线l的距离为，

所求弦长为.

解法二：（1）线段MN为圆C的直径，点MN的极坐标分别为，

圆心C的极坐标为，半径为，

设点为圆C上任一点，

则在中，由余弦定理得

（P、O、C共线此式也成立）

圆C的极坐标方程为：.

（2）在圆C的极坐标方程中，

令，得，

显然该方程，且，

所求弦长为.