Question

已知数列满足，且.

（1）求数列的通项公式；

（2）设数列的前n项和为，求证：当时，.

Answer

（1）（2）证明见解析

【解析】

(1)法一：计算出数列前4项，猜想：，用数学归纳法证明即可；法二：所给等式化简为 所以是等差数列，首项为2，公差为1，求出通项公式即可得解；(2) 先证明时，，

，再证明，即可得证.

【解析】
（1）法一：，且

，

同样可求得，

猜想：，

以下用数学归纳法证明

①当时，，符合，

②假设时，，

则时，，即，

符合，

综上：.

法二：由得

，，

即，

是等差数列，首项为2，公差为1，

则.

（2）当时，，

法一：先证明时，，

令，则，

为减函数，

则时，.

时，

，

又即

，

时，，

当时，.

法二：

，

要证明，

即证，

设，

则，

由得：

当时，，

，

，

，

当时，.

法三：由法二知即证，

设

当时，成立，

当时，

，

当时，.