设a,b,c分别是的三条边,且.我们知道,如果为直角三角形,那么(勾股定理).反...

设a,b,c分别是的三条边,且.我们知道,如果为直角三角形,那么(勾股定理).反过来,如果,那么为直角三角形(勾股定理的逆定理).由此可知,为直角三角形的充要条件是.请利用边长a,b,c分别给出为锐角三角形和钝角三角形的一个充要条件,并证明.

为锐角三角形的充要条件是.为钝角三角形的充要条件是.证明见解析【解析】根据勾股定理易得为锐角三角形的充要条件是.为钝角三角形的充要条件是.再分别证明充分与必要性即可. 解:(1)设a,b,c分别是的三条边,且,为锐角三角形的充要条件是. 证明如下:必要性:在中,是锐角,作,D为垂足,如图(1). 显然 ,即. 充分性:在中,,不是直角. 假设为钝角,如图(2).作,交BC延长线于点D. 则 . 即,与“”矛盾. 故为锐角,即为锐角三角形. (2)设a,b,c分别是的三条边,且,为钝角三角形的充要条件是. 证明如下:必要性:在中,为钝角,如图(2),显然: .即. 充分性:在中,, 不是直角,假设为锐角,如图(1), 则 .即,这与“”矛盾,从而必为钝角,即为钝角三角形.

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考点分析：

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设证明:的充要条件是.