Question

在平面直角坐标系中，四个点，，，中有3个点在椭圆：上.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过原点的直线与椭圆交于，两点（，不是椭圆的顶点），点在椭圆上，且，直线与轴、轴分别交于、两点，设直线，的斜率分别为，，证明：存在常数使得，并求出的值.

Answer

（1）；（2）证明见解析，.

【解析】

（1）根据椭圆的对称性可知，关于轴对称的，在椭圆上.分类讨论，当在椭圆上时，当在椭圆上时，分别求解，根据确定，即可.

（2）设，，由题意可知，，设直线的方程为，与椭圆联立，变形整理得，确定，，从而，直线的方程为，分别令、确定点与点的坐标，求直线，的斜率分别为，，求解即可.

（1）∵，关于轴对称.

∴这2个点在椭圆上，即①

当在椭圆上时，②

由①②解得，.

当在椭圆上时，③

由①③解得，.

又

∴，

∴椭圆的方程为.

（2）设，，则.

因为直线的斜率，又.

所以直线的斜率.

设直线的方程为，由题意知，.

由可得，

所以，.

由题意知，所以，所以直线的方程为，令，得，即，可得，

令，得，即，可得，

所以，即，因此，存在常数使得结论成立.